Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知点B的坐标为(8，0)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，，或

【解析】

（1）利用对称轴公式求得a的值，然后利用待定系数法确定函数关系式；

（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；

（3）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC＝CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ＝CQ，再写出点Q的坐标即可．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的对称轴为直线x＝3，

∴=3，

∴b＝﹣6a，

∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）．

∵抛物线与x轴交于点B（8，0），

∴64a﹣48a+4＝0，

解得，∴，

∴抛物线的解析式为；

（2）当x＝0时，y＝4，

∴C（0，4）．

设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将B（8，0），C（0，4）代入得，

解得，

∴直线BC的解析式为．

∵点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，

∴设，，其中0＜x＜8，

∴MN=

=

=

=

∴当x＝4时，MN的值最大，最大值为4；

（3）存在．理由如下：

由勾股定理得，AC＝＝，

过点C作CD⊥对称轴于D，则CD＝3，

①AC＝CQ时，DQ＝＝，

点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+，

此时点Q1（3，4+），

点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4﹣，

此时点Q2（3，4﹣），

②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ＝5，

CQ＝＝5，

∴AQ＝CQ，

此时，点Q3（3，0），

③当AC＝AQ时，∵AC＝2，点A到对称轴的距离为5，2＜5，

∴这种情形不存在．

综上所述，符合条件的点Q的坐标是，或．