题目内容
【题目】定义：若两个函数y1和y2的自变量x的取值范围相同，我们不妨把y1和y2的比值y称为x的比函数，且比函数的自变量x的取值范围不发生改变．例如：y1＝x2+2x（x＞0），y2＝x（x＞0），则x的比函数为y＝
＝x+2（x＞0）．
（1）已知y1＝x2﹣4（2≤x≤3），y2＝x+2（2≤x≤3），写出x的比函数y的解析式，并求出y的取值范围；
（2）已知y1＝x+2（x＞1），y2＝x﹣2（x＞1），求x的比函数y的图象上的整数点（横坐标和纵坐标都为整数的点）的坐标；
（3）已知y1＝x2﹣x+1，y2＝x2+x+1，若x的比函数y的图象与抛物线y3＝x2+2x+k（k为常数）存在交点，求k的取值范围．
【答案】（1）y＝x﹣2，0≤y≤1；（2）整数点的坐标为（3，5），（4，3），（6，2）；（3）当k≤4时，x的比函数y的图象与抛物线y3＝x2+2x+k（k为常数）存在交点．
【解析】
（1）根据比函数的定义即可得出答案；
（2）先根据比函数的定义写出x的比函数，再将比函数化简成一个整数加上一个分式的形式，即可得出答案；
（3）先根据比函数的定义写出x的比函数，再求出比函数y的取值范围，根据“x的比函数y的图象与抛物线y3＝x2+2x+k（k为常数）存在交点”得出x2+2x+k的取值范围，即可得出答案.
解：（1）x的比函数为y＝
，
∵2≤x≤3，
∴0≤y≤1；
（2）x的比函数为y＝
，
∵x＞1，
∴x＝3时，y＝5；x＝4时，y＝3；x＝6时，y＝2，
∴x的比函数图象上的整数点的坐标为（3，5），（4，3），（6，2）；
（3）x的比函数为y＝
，
当x＞0时，x+≥2，
∴
≤y＜1，
当x＜0时，x+
≤﹣2，
∴1＜y≤3，
∴≤y≤3且y≠1，
∵x的比函数y的图象与抛物线y3＝x2+2x+k（k为常数）存在交点，
∴x2+2x+k≤3，
∵当x＝﹣1时，抛物线的最小值为k﹣1，
∴k﹣1≤3，即k≤4，
∴当k≤4时，x的比函数y的图象与抛物线y3＝x2+2x+k（k为常数）存在交点．
