Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于E，EF∥BC交AC于F．

（1）求证：△ACD∽△ADE；

（2）求证：AD2＝ABAF；

（3）作DG⊥BC交AB于G，连接FG，若FG＝5，BE＝8，直接写出AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．

（2）证明△BAD∽△DAF可得结论．

（3）求出AB，AF，代入AD2＝ABAF，即可解决问题．

（1）证明：∵DA平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠DAE，

∵DE⊥AD，

∴∠ADE＝∠C＝90°，

∴△ACD∽△ADE．

（2）证明：连接DF．

∵EF∥BC，

∴∠AFE＝∠C＝90°，∠AEF＝∠B，

∵∠ADE＝∠AFE＝90°，

∴A，E，D，F四点共圆，

∴∠ADF＝∠AEF，

∴∠B＝∠ADF，

∴∠DAB＝∠DAF，

∴△BAD∽△DAF，

∴，

∴AD2＝ABAF．

（3）设DG交EF于O．

∵DG⊥BC，AC⊥BC，

∴DG∥AC，

∴∠ADG＝∠DAC＝∠DAG，

∴AG＝GD，

∵∠AED+∠EAD＝90°，∠EDG+∠ADG＝90°，

∴∠GED＝∠GDE，

∴DG＝EG＝AG，

∵∠AFE＝90°，

∴FG＝EG＝AG＝DG＝5，

∵OE∥BD，

∴，

∴，

∴OG＝，

∴OG∥AF．EG＝AG，

∴OE＝OF，

∴AF＝2OG＝，

∴AD2＝ABAF＝18×，

∵AD＞0，

∴AD＝．