Question

如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B=22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M，求证：EM=EC．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，由三角形外角的性质得出∠ADE的度数，判断出△ADE的形状，再由ASAA定理得出△DEM≌△AEC，由此可得出结论．

解答：证明：AB的垂直平分线DN交BC于点D，
∴BD=AD，
∴∠B=∠BAD=22.5，
∴∠ADE=2∠B=45°．
∵AE⊥BC于E，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE．
∵DF⊥AC于F交AE于M，
∴∠DEM=∠AEC=90°，
∵∠EDM+∠C=∠CAE+∠C=90°
∴∠EDM=∠EAC
在△DEM与△AEC中，
∵

∠EDM=∠EAC AE=DE ∠AED=∠AEC

，
∴△DEM≌△AEC（ASA），
∴EM=EC．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．