Question

3．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E，若DE=1，∠C=30°，则图中阴影部分的面积是$\frac{4}{9}$π-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据已知条件求得DC=2，由于OD∥BC，于是得到∠ODA=30°，根据等腰三角形的性质得到∠AOD=120°，于是得到OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，阴影部分面积即可求得．

解答 解：∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，
∴DC=2，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴阴影部分面积S=$\frac{60•π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4}{9}$π-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{9}$π-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．