Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，与BC边交于点E，

（1）若∠ACE＝18°，则∠ECD＝　 　

（2）探索：∠ACE与∠ACD有怎样的数量关系？猜想并证明．

（3）如图2，作△ABC的高AF并延长，交BD于点G，交CD延长线于点H，求证：CH2+DH2＝2AD2．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）∠ACE＝∠ACD﹣45°，理由见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACE＝18°，得出∠BAC＝180°﹣18°﹣18°＝144°，由等腰直角三角形的性质得出∠BAD＝90°，AB＝AD，求出∠DAC＝54°，证出AC＝AD，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ACD＝（180°﹣54°）＝63°，即可得出答案；

（2）由（1）得出∠BAC＝180°﹣2∠ACE，得出∠DAC＝90°﹣2∠ACE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；

（3）连接BH，由（2）得出∠ECD＝45°，由等腰三角形的性质得出BF＝CF，由线段垂直平分线的性质得出BH＝CH，由等腰三角形的性质得出∠HBC＝∠BCD＝45°，证出∠BHC＝90°，由勾股定理得出BH2+DH2＝BD2．进而得出结论．

（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACE＝18°，

∴∠BAC＝180°﹣18°﹣18°＝144°，

∵以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴∠DAC＝144°﹣90°＝54°，

∵AB＝AC，

∴AC＝AD，

∴∠ACD＝（180°﹣54°）＝63°，

∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝63°﹣18°＝45°；

故答案为：45°；

（2）∠ACE＝∠ACD﹣45°；理由如下：

由（1）得：∠BAC＝180°﹣2∠ACE，

∴∠DAC＝∠BAC﹣90°＝90°﹣2∠ACE，

∵AC＝AD，

∴∠ACD＝（180°﹣∠DAC）＝[180°﹣（90°﹣2∠ACE）]＝45°+∠ACE，

∴∠ACE＝∠ACD﹣45°；

（3）连接BH，如图2所示：

由（2）得：∠ECD＝45°，

∵AB＝AC，AF⊥BC，

∴BF＝CF，

∴BH＝CH，

∴∠HBC＝∠BCD＝45°，

∴∠BHC＝90°，

∴BH2+DH2＝BD2．

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴BD2＝2AD2，

∴CH2+DH2＝2AD2．