Question

20．一次函数y=kx+b的图象在坐标系中的位置如图所示．
（1）证明：关于x的一元二次方程x²+3x+k-1=0必有两个不等实根；
（2）设直线y=kx+b与y轴交于点A，与x轴交于点B，AO=BO=4，在线段AB上是否存在点P，使OP=$\sqrt{10}$？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值得到△=13-4k，再利用一次函数的图象与系数的关系得到k＜0，则可判断△＞0，于是根据判别式的意义可得到结论；
（2）先利用待定系数法求出一次函数解析式为y=-x+4，利用一次函数图象上点的坐标特征，设P（t，-t+4），利用两点间的距离公式得到$\sqrt{{t}^{2}+（-t+4）^{2}}$=$\sqrt{10}$，然后解方程求出t即可得到P点坐标．

解答 （1）证明：△=3²-4（k-1）=13-4k，
∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程x²+3x+k-1=0必有两个不等实根；
（2）存在．
∵AO=BO=4，
∴A（0，4），B（4，0），
把A（0，4），B（4，0）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-x+4，
设P（t，-t+4），
∴OP=$\sqrt{{t}^{2}+（-t+4）^{2}}$，
而OP=$\sqrt{10}$，
∴$\sqrt{{t}^{2}+（-t+4）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
整理得t2-4t+3=0，解得t₁=1，t₂=3，
∴P点坐标为（1，3）或（3，1）．

点评 本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b与y轴交于（0，b），k＞0，b＞0?y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0?y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0?y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0?y=kx+b的图象在二、三、四象限．也考查了判别式的意义．