Question

7．已知，如图，AB、AC是⊙O得切线，B、C是切点，过$\widehat{BC}$上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E
（1）连接OD和OE，若∠A=50°，求∠DOE的度数．
（2）若AB=7，求△ADE的周长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，OC，OD，OP，OE，根据切线的性质和切线长定理得到OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，于是求得∠OBA=∠OCA=90°，由于∠A=50°，求出∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°，根据OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，得到OD平分∠BOP，同理得OE平分∠POC，即可得到结论；
（2）根据切线长定理得到DB=DP，EP=EC，AB=AC，由等量代换即可得到结果．

解答 解：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，
∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，
∴∠OBA=∠OCA=90°，
∵∠A=50°，
∴∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°，
∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，
∴OD平分∠BOP，
同理得：OE平分∠POC，
∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=$\frac{1}{2}$（∠BOP+∠POC）=$\frac{1}{2}$∠BOC=65°，

（2）∵DB=DP，EP=EC，AB=AC，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE
=AD+DP+EP+AE
=AD+BD+AE+EC
=AB+AC
=2AB=14．

点评 本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．