Question

4．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分别是AE、CD的中点．
（1）求证：△ABE≌△DBC；
（2）判定△BMN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）在△ABE和△DBC中依据SAS可证明△ABE≌△DBC；
（2）依据全等三角形的性质可得到AE=CD，∠BAM=∠BDN，然后依据中点的定义可证明AM=CN，依据SAS可证明ABM≌△DBN，然后全等三角形的性质可得到BM=BN，∠ABM=∠DBN，最后由∠ABM+∠MBE=∠MBE+∠EBN=90°可得到问题的答案．

解答 解：（1）在△ABE和△DBC中$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABD=∠DBC}\\{EB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC
（2）△MBN是等腰直角三角形．
证明如下：
∵△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，∠BAM=∠BDN．
∵M，N分别是AE，CD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AE，CN=$\frac{1}{2}$CD．
∴AM=CN．
在△ABM和△DBN中$\left\{\begin{array}{l}{AM=CN}\\{∠BAM=∠BDN}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴ABM≌△DBN．
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．
∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠ABD=∠ABM+∠DBM=90°．
∴∠DBN+∠DBM=∠MBN=90°．
∴△MBN是等腰直角三角形．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．