Question

【题目】如图，在△ABC中， tan∠ABC=，∠C=45°，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD=DE=5，动点P从点B出发，沿B-D-E-C向终点C运动，在BD-DE上以每秒5个单位长度的速度运动，在EC上以每秒个单位长度的速度运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点B、点N始终在PQ同侧． 设点P的运动时间为（）（＞0），正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S．

（1）当点P在BD-DE上运动时，用含的代数式表示线段DP的长．

（2）当点N落在AB边上时，求的值．

（3）当点P在DE上运动时，求S与之间的函数关系式．

（4）当点P出发时，有一点H从点D出发，在线段DE上以每秒5个单位长度的速度沿D-E-D连续做往返运动，直至点P停止运动时，点H也停止运动．连结HN，直接写出HN与DE所夹锐角为45°时的值．

Answer 1

【答案】（1）当0＜≤1时，DP=；当1＜≤2时，DP=；（2）；（3）；（4）满足条件的t的值为：0.1或或.

【解析】

（1）分两种情形：当0＜t≤1时，当1＜t≤2时，分别求解即可．
（2）根据DP=DM，构建方程求解即可．
（3）分三种情形：①如图2-1中，当1≤t≤时，重叠部分是四边形BQPD．②如图2-2中，当＜t≤时，重叠部分是五边形MQPDK．③如图2-3，当＜t≤2时，重叠部分是正方形PQMN，分别求解即可．

（4）分三种情形：点P在线段BD上一种情形，点P在线段EC上两种情形，分别画出图形，构建方程求解即可．

解：（1）根据题意，∵BD=DE=5，

∴点P从点B运动到点D，所用的时间为：，

点P从点D运动到点E，所用的时间为：；

当0＜≤1时，点P在BD上运动，DP=；

当1＜≤2时，点P在DE上运动，DP=；

（2）如图1中，

在Rt△BDM中，

∵∠DMB=90°，tanB=，BD=5，

∴DM=4，BM=3，

∵DP=DM，

∴=4，

解得：t＝．

（3）如图，当1≤≤时，重叠部分是四边形BQPD，则

S=；

如图，当＜≤时，重叠部分是五边形MQPDK，

S=；

如图，当＜≤2时，重叠部分是正方形PQMN，S=；

综上所述，；

（4）如图，作HK⊥NP交NP的延长线于K．

由题意∠HNK=45°，

∵HK⊥NK，

∴△NHK是等腰直角三角形，

∴NK=HK，

可得4t+3-3t+5t=4-4t，

解得：t=0.1；

如图，当2＜t＜3时，满足EH=PN，条件成立．

可得：，

解得：t＝；

如图3-2中，当t＞3时，满足EH=PN，条件成立．

可得：，

解得：．

综上所述，满足条件的t的值为0.1或或．