Question

1．（1）如图1，△ABC为等边三角形，点P是BC上任意一点，△APF也是等边三角形．连结CF，求∠PCF的度数；
（2）如图2，四边形ABCD为正方形，点P是BC上任意一点，四边形APFM也是正方形．连结CF，求∠PCF的度数；
（3）如图3，五边形ABCDE为正五边形，点P是BC上任意一点，五边形APFMN也是正五边形．连结CF，直接写出∠PCF的度数；
（4）对于正n边形ABCDEF…，在相同条件下，∠PCF的度数为90°+$\frac{90°×（n-2）}{n}$（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC和△APF都是等边三角形，易证△ABP≌△ACF，得出∠ACF=∠B=60°，从而得出∠PCF=120°；
（2）在AB上取BQ=BP，连接QP，易证△AQP≌△PCF，得出∠CFP+∠CPF=∠QAP+∠QPA=45°，即可得出∠PCF=180°-45°=135°，
（3）在AB上取BQ=BP，连接QP，易证△AQP≌△PCF，得出∠CFP+∠CPF=∠QAP+∠QPA=36°，即可得出∠PCF=180°-36°=144°，
（4）同理，在AB上取BQ=BP，连接QP，易证△AQP≌△PCF，得出∠CFP+∠CPF=∠QAP+∠QPA=[180°-$\frac{（n-2）•180°}{n}$]÷2，即可得出∠PCF=180°-[180°-$\frac{（n-2）•180°}{n}$]÷2=90°+$\frac{90°×（n-2）}{n}$．

解答 解：（1）证明：∵△ABC和△APF都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AF，∠BAC=∠PAF=60°，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAF-∠PAC，
∴∠BAP=∠CAQF，
在△ABP和△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAP=∠CAF}\\{AP=AF}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△ACF（SAS），
∴∠ACF=∠B=60°，
∴∠PCF=60°+60°=120°；
（2）如图2，在AB上取BQ=BP，连接QP，∠BQB=45°，

∵∠BAP+∠APB=90°，∠CPF+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPF，
∵四边形APFM也是正方形，
∴AP=PF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，
∴AQ=PC，
在△AQP和△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=PC}\\{∠QAP=∠CPF}\\{AP=PF}\end{array}\right.$
∴△AQP≌△PCF（SAS），
∴∠CFP+∠CPF=∠QAP+∠QPA=45°，
∴∠PCF=180°-45°=135°，
（3）如图3，在AB上取BQ=BP，连接QP，

∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠B=108°，
在△AQP和△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=PC}\\{∠QAP=∠CPF}\\{AP=PF}\end{array}\right.$
∴△AQP≌△PCF（SAS），
∴∠CFP+∠CPF=∠QAP+∠QPA=36°，
∴∠PCF=180°-36°=144°，
（4）同理可得△AQP≌△PCF（SAS），
∴∠CFP+∠CPF=∠QAP+∠QPA=[180°-$\frac{（n-2）•180°}{n}$]÷2，
∴∠PCF=180°-[180°-$\frac{（n-2）•180°}{n}$]÷2=90°+$\frac{90°×（n-2）}{n}$．
故答案为：90°+$\frac{90°×（n-2）}{n}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及正多边形的内角，三角形全等及正多边形的性质，解题的关键是构造全等三角形，利用正多边形的内角求解．