Question

16．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA₁B₁C₁的两边在坐标轴上，以它的对角线OB₁为边作正方形OB₁B₂C₂，再以正方形OB₁B₂C₂的对角线OB₂为边作正方形OB₂B₃C₃，以此类推…、则正方形OB₂₀₁₅B₂₀₁₆C₂₀₁₆的顶点B₂₀₁₆的坐标是（2¹⁰⁰⁸，0）．

Answer 1

分析 首先求出B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、B₇、B₈、B₉的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B₂₀₁₆的坐标．

解答 解：∵正方形OA₁B₁C₁边长为1，
∴OB₁=$\sqrt{2}$，
∵正方形OB₁B₂C₂是正方形OA₁B₁C₁的对角线OB₁为边，
∴OB₂=2，
∴B₂点坐标为（0，2），
同理可知OB₃=2$\sqrt{2}$，
∴B₃点坐标为（-2，2），
同理可知OB₄=4，B₄点坐标为（-4，0），
B₅点坐标为（-4，-4），B₆点坐标为（0，-8），
B₇（8，-8），B₈（16，0）
B₉（16，16），B₁₀（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的$\sqrt{2}$倍，
∵2016÷8=252
∴B₂₀₁₆的纵横坐标符号与点B₈的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，
∴B₂₀₁₆的坐标为（2¹⁰⁰⁸，0）．
故答案为：（2¹⁰⁰⁸，0）．

点评 本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的$\sqrt{2}$倍．