如图.已知点E在正方形ABCD内.△EBC为等边三角形.AB=2.P是边CD上一个动点.将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ.分别连按AQ.QE．(1)如图1.当点Q落在边AD上时.以下结论:①AQ=CP.②∠BEQ=90°.正确的有①②,(2)如图2.当点P是边CD上任意一点中所给的两个结论是否正确.若有正确的结论.请加以证明,(3)直接写出在点P的运动过程中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图，已知点E在正方形ABCD内，△EBC为等边三角形，AB=2，P是边CD上一个动点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，分别连按AQ，QE．
（1）如图1，当点Q落在边AD上时，以下结论：①AQ=CP，②∠BEQ=90°，正确的有①②（填序号）；
（2）如图2，当点P是边CD上任意一点（点C除外），分别判断（1）中所给的两个结论是否正确，若有正确的结论，请加以证明；
（3）直接写出在点P的运动过程中线段AQ的最小值．

分析（1）正确的有①②．只要证明△ABQ≌△CBP，推出∠ABQ=∠CBP=90°-∠PBQ=15°，AQ=PC，再证明△QBA≌△QBE即可解决问题．
（2）结论②正确．只要证明△QBE≌△PBC，尽快提出∠QEB=∠BCP=90°．
（3）如图2中，理解BN，作AQ′⊥EQ于Q′．在AB上取一点K，使得BK=KN．由∠QEB=90°，所以点Q在射线EQ上运动，根据垂线段最短，点Q与Q′重合时，AQ最小．Rt△AQ′N中，∠ANQ′=180°-∠ANE=180°-150°=30°，可得AQ的最小值为AQ′=$\frac{1}{2}$AN即可解决问题．

解答解：（1）正确的有①②．
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCP=∠ABC=90°，
在RtABQ和Rt△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CBP，
∴∠ABQ=∠CBP=90°-∠PBQ=15°，AQ=PC，
∵△EBC是等边三角形，
∴∠EBC=60°，BC=AB=BE，∠ABE=90°-60°=30°，
∴∠QBA=∠QBE=15°，
在△QBA和△QBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠QBA=∠QBE}\\{BQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△QBA≌△QBE，
∴∠QEB=∠A=90°，
∴①②正确．

（2）结论②正确．
理由：如图2中，
∵∠QBP=∠EBC=60°，
∴∠QBE=∠PBC，
在△QBE和△PBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BQ=PB}\\{∠QBE=∠PBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△QBE≌△PBC，
∴∠QEB=∠BCP=90°，
∴结论②正确．

（3）如图2中，连接BN，作AQ′⊥EQ于Q′．在AB上取一点K，使得BK=KN．
∵∠QEB=90°，
∴点Q在射线EQ上运动，
根据垂线段最短，点Q与Q′重合时，AQ最小．
∵△ABN≌△EBN，
∴∠EBN=∠ABN=15°，
∵KB=KN，
∴∠KBN=∠KNB=15°，
∴∠AKN=∠KBN+∠KNB=30°，设AN=x，则BK=KN=2x，
在Rt△AKN中，∵AK²+AN²=KN²，
∴（2-2x）²+x²=（2x）²，
解得x=4-2$\sqrt{3}$或4+2$\sqrt{3}$（舍弃），
∴AN=4-2$\sqrt{3}$，
在Rt△AQ′N中，∵∠ANQ′=180°-∠ANE=180°-150°=30°，
∴AQ的最小值为AQ′=$\frac{1}{2}$AN=2-$\sqrt{3}$．