Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BC=6，P是BC边上的一个三等分点，以点A为中心，把△ABP逆时针旋转45°，点P旋转到P′
（1）画出旋转后的图形，保留作图痕迹；
（2）求线段PP′的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用旋转的性质得出P点旋转后对应点进而得出答案；
（2）连接PP′，作P′Q⊥PC交PC延长线于点Q，由BC=6、P是BC边上的一个三等分点知BP=2、CP=4，根据旋转的性质得BP=CP′=2、∠ABP=∠ACP′，证∠P′CQ=45°，求得CQ=P′Q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P′C=$\sqrt{2}$，最后由勾股定理得PP′的长．

解答 解：（1）如图，△ACP′即为所求三角形；


（2）连接PP′，作P′Q⊥PC交PC延长线于点Q，
∵BC=6，P是BC边上的一个三等分点，
∴BP=2，CP=4，
由旋转可知△ABP≌△ACP′，
∴BP=CP′=2，∠ABP=∠ACP′，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABC+∠ACB=135°，
∴∠ACP′+∠ACB=135°，
∴∠P′CQ=45°，
∴CQ=P′Q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P′C=$\sqrt{2}$，
则PQ=PC+CQ=4+$\sqrt{2}$，
∴PP′=$\sqrt{P{Q}^{2}+P′{Q}^{2}}$=2$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．

点评 此题主要考查了作旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．