题目内容

已知平面直角坐标系xOy（如图），抛物线 $数学公式$ 经过点A（-3，0）、C（0，- $数学公式$ ）．
（1）求该抛物线顶点P的坐标；
（2）求tan∠CAP的值；
（3）设Q是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q的横坐标为t，当点Q在第四象限时，用含t的代数式表示△QAC的面积．

解：（1）将A（-3，0）、C（0，- $\text{[math]}$ ）．代入 $\text{[math]}$ 得
$\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
所以抛物线的表达式为y= $\text{[math]}$ x²+x- $\text{[math]}$ ．
其顶点P的坐标为（-1，-2）．…（1分）
（2）延长AP交y轴于G，过C作CH⊥AG，垂足是H．

设直线AP的表达式为y=kx+b，
将A（-3，0）、P（1，-2）代入，得
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
∴y=-x-3．
进而可得G（0，-3）．
∴OG=OA，∠G=∠OAG=45°，
在Rt△CHG中，HG=CH=CG•sin45°= $\text{[math]}$ ．
在Rt△AOG中，AG= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴AH=AG-HG= $\text{[math]}$

∴tan∠CAP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（3）设Q（t， $\text{[math]}$ t²+t- $\text{[math]}$ ），
由Q在第四象限，得|t|=t，| $\text{[math]}$ t²+t- $\text{[math]}$ |=- $\text{[math]}$ t²-t+ $\text{[math]}$ ）．
联结OQ，易得 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ．
∵S_△AOC= $\text{[math]}$ ×|-3|×|- $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，S_△QOC= $\text{[math]}$ ×|- $\text{[math]}$ |×t= $\text{[math]}$ t，
S_△AOQ= $\text{[math]}$ ×|-3|×| $\text{[math]}$ t²+t- $\text{[math]}$ |=- $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ，
∴S_△QAC= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t-（- $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ）=|=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t．
分析：（1）将已知点的坐标代入到给定的函数的解析式中求解即可；
（2）延长AP交y轴于G，过C作CH⊥AG，垂足是H，首先求得直线AP的解析式，然后表示出有关线段长，从而求得tan∠CAP的值；
（3）利用 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ求解即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合题目，利用一般式求二次函数解析式及解直角三角形是考查的重点内容，同学们应学会应用．