Question

7．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．点O是△ABC内的动点，点G，F分别是OB，OC的中点．
（1）求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是正方形，请直接给出OA应满足的条件是AO=BC，AO⊥BC．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=$\frac{1}{2}$BC，GF∥BC且GF=$\frac{1}{2}$BC，从而得到DE∥GF且DE=GF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，DG∥AO，DG=$\frac{1}{2}$AO，然后求出DG⊥GF，DG=GF，再根据邻边垂直且相等的平行四边形是正方形解答．

解答 （1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵G、F是OB、OC的中点，
∴GF∥BC且GF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE∥GF且DE=GF，
∴四边形DGFE是平行四边形；

（2）解：AO=BC，AO⊥BC时四边形DGFE是正方形，
理由如下：
∵D、G分别是AB、OB的中点，
∴DG∥AO，DG=$\frac{1}{2}$AO，
又∵AO=BC，AO⊥BC，
∴DG⊥GF，DG=GF，
∴四边形DGFE正方形，
故答案为：AO=BC，AO⊥BC．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，正方形的判定，熟记定理与判定方法是解题的关键．