题目内容
如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=| m | x |
内的交点，且S△AOB=3．（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．
（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图象的另一支交于D点，过D点作DE⊥x轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？
（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．
分析：（1）根据S△AOB=3可以求出反比例函数的解析式，求出m的值，则一次函数的解析式也相应求出；
（2）根据函数的解析式，就可以通过解方程组求出函数的交点坐标．进而得到两个三角形的面积；
（3）根据A、D的坐标，可以求出AO、DO的长，就可以判断三角形的形状．
（2）根据函数的解析式，就可以通过解方程组求出函数的交点坐标．进而得到两个三角形的面积；
（3）根据A、D的坐标，可以求出AO、DO的长，就可以判断三角形的形状．
解答：解：（1）设B（x0，0），则A(x0，
)，其中x0＞0，m＞0，
在Rt△ABO中，AB=
，OB=x0，
则S△ABO=
•x0•
=3，即m=6，
∴一次函数的解析式为y=x+6，
∴反比例函数的解析式为y=
；
（2）由
得x2+6x-6=0，
解得：x1=-3+
，x2=-3-
，
∴A(-3+
，3+
)，D(-3-
，3-
)，
由反比例函数的定义可知，对反比例函数图象上任意一点P（x，y），有y=
，即xy=6，
∴S△DEO=
×OE×DE=
×6=3，
即S△DEO=S△AOB；
（3）由A(-3+
，3+
)，D(-3-
，3-
)，
可得AO=4
，DO=4
，
即AO=DO，
∵∠AOD＞90°，
∴△AOD为钝角等腰三角形．
| m |
| x0 |
在Rt△ABO中，AB=
| m |
| x0 |
则S△ABO=
| 1 |
| 2 |
| m |
| x0 |
∴一次函数的解析式为y=x+6，
∴反比例函数的解析式为y=
| 6 |
| x |
（2）由
|
解得：x1=-3+
| 15 |
| 15 |
∴A(-3+
| 15 |
| 15 |
| 15 |
| 15 |
由反比例函数的定义可知，对反比例函数图象上任意一点P（x，y），有y=
| 6 |
| x |
∴S△DEO=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即S△DEO=S△AOB；
（3）由A(-3+
| 15 |
| 15 |
| 15 |
| 15 |
可得AO=4
| 3 |
| 3 |
即AO=DO，
∵∠AOD＞90°，
∴△AOD为钝角等腰三角形．
点评：通过反比例函数图象上的点，作x轴的垂线，垂线，x轴上的点与原点的连线构成的三角形，与反比例函数的解析式的关系．是本题的考查的一个重点．
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E，交⊙O于点F，且AE=BE．
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