Question

20．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，AB=5，求平行四边形OABC的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出CD，根据三角形的面积公式求出DF，根据平行四边形的面积公式求出即可．

解答 （1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC=90°，
如图1，连接OD，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OD}\\{∠EOC=∠DOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：过D作DF⊥OC于F，如图2，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB=5，OA=BC=3，
在Rt△CDO中，OC=5，OD=OA=3，由勾股定理得：CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=4，
由三角形的面积公式得：$\frac{1}{2}$×CD×OD=$\frac{1}{2}$×OC×DF，
∴DF=$\frac{CD•OD}{OC}$=$\frac{12}{5}$，
∴平行四边形OABC的面积是OC×DF=5×$\frac{12}{5}$=12．

点评 本题考查了切线的性质和判定，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．