Question

【题目】已知四边形为的内接四边形，直径与对角线相交于点，作于，与过点的直线相交于点，.

（1）求证：为的切线；

（2）若平分，求证：；

（3）在（2）的条件下，为的中点，连接，若，的半径为，求的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角为90°，得到∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠DAC+∠DCA=90°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得到∠FAD+∠DAC=90°，即可得出结论；

（2）连接OD．根据圆周角定理和角平分线定义可得∠DOA=∠DOC，即可得出结论；

（3）连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P．可求出AD=4，AF∥OM．根据三角形中位线定理得出OM=AF．证明△ODE≌△OCM，得到OE=OM．设OM=m，用m表示出OE，AE，AP，DP．通过证明△EAN∽△DPE，根据相似三角形对应边成比例，求出m的值，从而求得AN，AE的值．在Rt△NAE中，由勾股定理即可得出结论．

（1）∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAC+∠DCA=90°．

∵，

∴∠ABD=∠DCA．

∵∠FAD=∠ABD，

∴∠FAD=∠DCA，

∴∠FAD+∠DAC=90°，

∴CA⊥AF，

∴AF为⊙O的切线．

（2）连接OD．

∵，

∴∠ABD=∠AOD．

∵，

∴∠DBC=∠DOC．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠DOA=∠DOC，

∴DA=DC．

（3）连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P．

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°．

∵DA=DC，

∴DO⊥AC，

∴∠FAC=∠DOC=90°，AD=DC==4，

∴∠DAC=∠DCA=45°，AF∥OM．

∵AO=OC，

∴OM=AF．

∵∠ODE+∠DEO=90°，∠OCM+∠DEO=90°，

∴∠ODE=∠OCM．

∵∠DOE=∠COM，OD=OC，

∴△ODE≌△OCM，

∴OE=OM．

设OM=m，

∴OE=m，，，

∴．

∵∠AED+∠AEN=135°，∠AED+∠ADE=135°，

∴∠AEN=∠ADE．

∵∠EAN=∠DPE，

∴△EAN∽△DPE，

∴，

∴，

∴，

∴，，

由勾股定理得：．