Question

8．如图，Rt△AOB中，∠A=90°，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，已知OA=2，AB=8，点C为AB边的中点，以原点O为顶点的抛物线C₁经过点C．
（1）直线OC的解析式为y=2x；抛物线C₁的解析式为y=x²；
（2）现将抛物线C₁沿着直线OC平移，使其顶点M始终在直线OC上，新抛物线C₂与直线OC的另一交点为N．则在平移的过程中，新抛物线C₂上是否存在这样的点G，使以B、G、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出此时新抛物线C₂的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）存在．设新抛物线C₂与的顶点坐标为（m，2m），则N（m+2，2m+4），新抛物线C₂的解析式为y=（x-m）²+2m，设点G的坐标为（x，y）．分三种情形讨论①当BM为平行四边形MNBG的对角线时，则有$\frac{2+m}{2}$=$\frac{x+m+2}{2}$，$\frac{2m+8}{2}$=$\frac{y+2m+4}{2}$，推出x=0，y=4，推出点G坐标为（0，4），把（0，4）代入y=（x-m）²+2m，求出m即可．
②当BN为对角线时，方法类似．③当MN为对角线时，显然不成立．

解答 解：（1）由题意C（2，4），设直线OC的解析式为y=kx，则有4=2k，
∴k=2，
∴直线OC的解析式为y=2x，
设以原点O为顶点的抛物线C₁的解析式为y=ax²，把C（2，4）代入得a=1，
∴以原点O为顶点的抛物线C₁的解析式为y=x²，
故答案为y=2x，y=x²．

（2）存在．理由如下，
设新抛物线C₂与的顶点坐标为（m，2m），则N（m+2，2m+4），新抛物线C₂的解析式为y=（x-m）²+2m．
设点G的坐标为（x，y）．
①当BM为平行四边形MNBG的对角线时，则有$\frac{2+m}{2}$=$\frac{x+m+2}{2}$，$\frac{2m+8}{2}$=$\frac{y+2m+4}{2}$，
∴x=0，y=4，
∴点G坐标为（0，4），把（0，4）代入y=（x-m）²+2m，得到m=-1+$\sqrt{5}$或-1-$\sqrt{5}$，
此时抛物线C₂的解析式为y=（x+1-$\sqrt{5}$）²-2+2$\sqrt{5}$或y=（x+1+$\sqrt{5}$）²-2-2$\sqrt{5}$．
②当BN为对角线时，则有$\frac{2+m+2}{2}$=$\frac{x+m}{2}$，$\frac{8+2m+4}{2}$=$\frac{2m+y}{2}$，
∴x=4，y=12，
∴点G的坐标为（4，12），把（4，12）代入y=（x-m）²+2m，得到m=3-$\sqrt{5}$或3+$\sqrt{5}$
∴此时抛物线C₂的解析式为y=（x-3+$\sqrt{5}$）²+6-2$\sqrt{5}$或y=（x-3-$\sqrt{5}$）²+6+2$\sqrt{5}$．
③当MN为对角线时，显然不成立．
综上所述，满足条件的抛物线C₂的解析式为y=（x+1-$\sqrt{5}$）²-2+2$\sqrt{5}$或y=（x+1+$\sqrt{5}$）²-2-2$\sqrt{5}$或y=（x-3+$\sqrt{5}$）²+6-2$\sqrt{5}$或y=（x-3-$\sqrt{5}$）²+6+2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了二次函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的性质和判定、中点坐标公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．