Question

如图所示，梯形AOCD中，AD=9，OC=10，AO=4，在线段OC上任取一点N（不与D，C重合），连接DN，作NE⊥DN，交AO于点E．

（1）当CN=2时，求点E的坐标．
（2）若CN=x，OE=y，求y与x的函数关系式．
（3）探索与研究：若点M从O点沿OC方向、N点从C点沿CO方向同时等速运动，现有一点F，满足MF⊥MN，NF⊥ND．
①猜想F点在什么线上运动？并求出这条线所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②求出F点在运动过程中的最高点的坐标．

Answer 1

分析：（1）作DF⊥OC于F，易证∠DNF=∠OEN，则tan∠OEN=tan∠DNF，根据三角函数即可求得OE的长度，从而求得E的坐标；
（2）当0＜t＜1时由（1）知CF=1，所以此时N点在F点右侧，E点在y轴负半轴，当t＞1时，如图所示N点在F点左侧，E点则在y轴正半轴，分两种情况，利用三角函数即可求解；
（3）①MF⊥MN，NF⊥ND，点F（x，y），M点、N点同时等速运动，则CN=OM=x，易证∠MFN=∠DNM，利用三角函数即可得到函数解析式；
②把①得到的函数解析式，利用配方法即可求得函数的顶点．

解答：解：（1）如图所示，作DF⊥OC于F，
由题意知，CN=2，AD=9，OC=10．
∵AOCD是梯形且∠AOC=90°，
∴OF=AD=9，CF=OC-OF=1，NF=CN-CF=1，DF=OA=4．
∴在Rt△DFN中，tan∠DNF=

DF

NF

=

4

1

=4．
又∵NE⊥DN，∠AOC=90°，
∴∠DNF=∠OEN，tan∠OEN=tan∠DNF=4．
∴OE=

ON

tan∠OEN

=

8

4

=2；
∴点E的坐标为（0，2）；

（2）如图所示：
①当0＜t＜1时由（1）知CF=1，所以此时N点在F点右侧，E点在y轴负半轴，
∵∠DNF=∠OEN，
∴tan∠DNF=

DF

FN

=

4

1-x

=tan∠OEN=

OF

OE

=

10-x

y

，
整理得：y=

x2-11x+10

4

；
②当t＞1时，如图所示N点在F点左侧，E点则在y轴正半轴，
∵∠DNF=∠OEN，
∴tan∠DNF=

DN

FN

=tan∠OEN=

OF

OE

，即

10-x

y

=

4

x-1

，
∴S=

-x2+11x-10

4

；

（3）①如图所示：由图知点F在第四象限，
∵MF⊥MN，NF⊥ND，点F（x，y），M点、N点同时等速运动，
∴CN=OM=x．
又∵∠MFN+∠MNF=∠MNF+∠DNM=90°，
∴∠MFN=∠DNM，
即：tan∠MFN=

MN

MF

=

10-2x

|y|

=tan∠DNM=

OA

1-x

=

4

1-x

，y＜0，
∴y=-

1

2

x²+3x-

5

2

（0＜x＜10）；

②∵y=-

1

2

x²+3x-

5

2

=-

1

2

（x²-6x+5）=-

1

2

（x²-6x+9-4）=-

1

2

（x-3）²+2．
故最高点的坐标是（3，2）．

点评：本题考查了二次函数、三角函数的综合应用，正确进行讨论是关键．