题目内容

如图（1），在Rt△ABC的边AB的同侧，分别以三边为直径作三个半圆，大半圆以外的两部分面积分别为S1、S3，三角形的面积为S2；
如图（2），两个反比例函数y=
2
x
和y=
1
x
在第一象限内的图象如图所示，点P在y=
2
x
的图象上，PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，交y=
1
x
的图象于分别于点A，B，当点P在y=
2
x
的图象上运动时，△BOD，四边形OAPB，△AOC的面积分别为S1、S2、S3；
如图（3），点E为?ABCD边AD上任意一点，三个三角形的面积分别为S1、S2、S3；
如图（4），梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB+∠ABC=90°，AB=2CD，以AD、DC、CB为边作三个正方形的面积分别为S1、S2、S3．
在这四个图形中满足S1+S3=S2有
 
（填序号）．
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分析：图（1）根据AB2=AC2+BC2，半圆的面积等于
1
2
πr2，可得出S1、S2、S3的关系．
图（2）过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值|k|，△BOD的面积为矩形面积的一半，即
1
2
|k|，从而可判断出S1、S2、S3的关系．
图（3）根据平行四边形的性质可得S2=
1
2
SABCD，从而可得出S1+S3=S2．
图（4）过点D作EE∥BC交AB于点E，得到平行四边形DCBE和Rt△ADE，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．
解答：解：（1）如图：可得S1+S3=
1
2
π(
AC
2
)2+
1
2
π(
BC
2
)2+S2-
1
2
π(
AB
2
)2=
1
2
π（AC2+BC2-AB2）+S2，
又∵AB2=AC2+BC2，
∴S1+S3=S2．

（2）根据k的几何意义可得：SBDO=
1
2
|k|=
1
2
，SAOC=
1
2
|k|=
1
2
，SOAPB=2-SBDO-SAOC=1，
∴S1+S3=S2．

（3）根据平行四边形的性质可得S2=
1
2
SABCD，
∴S1+S2=
1
2
SABCD，
∴S1+S3=S2．

（4）精英家教网∵AB∥DC，
∴四边形DCBE是平行四边形，
∴DC=BE，BC=DE，∠ABC=∠AED，
∵∠DAB+∠ABC=90°，2DC=AB，
∴DC=AE，∠DAE+∠AED=90°，
∴∠ADE=90°那么AD2+DE2=AE2，
∵S1=AD2，S2=DC2=AE2，S3=BC2=AE2，
∴S2=S1+S3．
综上可得（1）（2）（3）（4）四个图形均满足S2=S1+S3．
故答案为（1）（2）（3）（4）．
点评：本题考查了勾股定理、反比例函数的几何意义及平行四边形的性质，涉及的知识点较多，难度较大，解答本题关键是根据反比例函数的几何意义，平心四边形的性质，梯形的知识分别表示出各图中的S1、S2、S3．
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（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：AE2=AD•AC；
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35
，求EF的长．
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（1）求BC和OF的长；
（2）求证：E、O、G三点共线；
（3）小叶从第（1）小题的计算中发现：等式
1
OF2
=
1
OB2
+
1
OC2
成立，于是她得到这样的结论：
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，CD=h，则有等式
1
a2
+
1
b2
=
1
h2
成立．请你判断小叶的结论是否正确，若正确，请给予证明，若不正确，请说明理由．
如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D．
求证：AD=
14
AB．
如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，且DE⊥AB于E，若∠CAD：∠DAB=1﹕2，求∠B的度数．

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