Question

如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC为梯形，且OA=AB=BC=4，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动（运动到点C为止）．
（1）求A、B两点坐标；
（2）求当t=

3

时，△POQ的面积；
（3）直线l运动时间为t秒，它在梯形内扫过的面积为S，求S和t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）首先过点A作AD⊥OC于D，过点B作BE⊥OC于E，分别求出AD与DO的长，即可得出A，B两点的坐标；
（2）当t=

3

时，OQ=

3

PQ=OQ•tan60°=3，即可得出△POQ的面积；
（3）分别对当0≤t≤2时，以及当2＜t≤6时和当6＜t≤8时进行分析得出函数关系式即可．

解答：解：（1）过点A作AD⊥OC于D，过点B作BE⊥OC于E，
则AD=OA•sin60°=2

3

，OD=OA•cos60°=2，
∴OE=2+4=6，
∴A(2，2

3

)，B(6，2

3

)；

（2）当t=

3

时，OQ=

3

PQ=OQ•tan60°=3，
∴S_△POQ=

1

2

OQ•PQ=

3 3

2

；

（3）由已知得OQ=t，
当0≤t≤2时，点P在OA上，PQ=OQ•tan60o=

3

t，
∴S=

1

2

OQ•PQ=

1

2

t•

3

t=

3

2

t2，
当2＜t≤6时，点P在AB上，
由已知得AP=t-2，
∴S=

1

2

（AP+OQ）•AD=

1

2

（t-2+t）×2

3

=2

3

t-2

3

，
当6＜t≤8时，点P在BC上，
由已知得CQ=8-t，
∴PQ=CQ•tan60o=

3

(8-t)，
∴S=SOABC-S△PCQ=

1

2

(4+8)•2

3

-

1

2

(8-t)•

3

(8-t)=-

3

2

(t-8)2+12

3

，
∴S=

3 2 t2(0≤t≤2) 2 3 t-2 3 (2＜t≤6) - 3 2 (t-8)2+12 3 (6＜t≤8)

．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及解直角三角形等知识，注意分段函数的求法应借助于自变量的取值范围来确定，根据自变量的取值范围分别得出函数解析式是解题关键．