Question

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△DEF面积的最大值为

3

．

Answer 1

分析：首先过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，由菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，即可求得AD=CD=4，∠FDG=60°，然后设AE=x，即可得S_△DEF=

1

2

DE•FG）=-

3

4

（x-2）²+

3

，然后根据二次函数的性质，即可求得答案．

解答：解：过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°，
∴AD=CD=4，∠ADB=180°-∠BAD=120°，
∴∠FDG=180°-∠ADB=60°，
设AE=x，
∵AE+CF=4，
∴CF=4-x；
∴DE=AD-AE=4-x，DF=CD-CF=4-（4-x）=x，
在Rt△DFG中，FG=DF•sin∠GDF=

3

2

x，
∴S_△DEF=

1

2

DE•FG=

1

2

×（4-x）×

3

2

x=-

3

4

x²+

3

x=-

3

4

（x²-4x）=-

3

4

（x-2）²+

3

，
∴当x=2时，△DEF面积的最大，最大值为

3

．
故答案为：

3

．

点评：此题考查了菱形的性质、三角函数的性质以及二次函数的最值问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．