Question

如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，）（其中m＞0），在BC边上选取适当的点E和点F，将△OCE沿OE翻折，得到△OGE；再将△ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到△AGF，且∠OGA=90°。
（1）求m的值；
（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）。
【提示：抛物线的对称轴是，顶点坐标是】

Answer 1

解：（1）∵B（m，）， 由题意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=m ∵∠OGA=90°， ∴OG2+AG2=OA2 ∴2+2=m2 又∵m＞0， ∴m=2； （2）过G作直线GH⊥x轴于H， 则OH=1，HG=1，故G（1，1）， 又由（1）知A（2，0）， 设过O，G，A三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线过原点， ∴c=0， 又∵抛物线过G，A两点， ∴， 解得， ∴所求抛物线为y=-x2+2x，它的对称轴为x=1； （3）答：存在， 满足条件的点P有（1，0），（1，-1），（1，1-），（1，1+）。