Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，D、A、E在直线m上，∠ADB=∠AEC=∠BAC．
（1）求证：DE=DB+EC；
（2）若∠BAC=120°，AF平分∠BAC，且AF=AB，连接FD、FE，请判断△DEF的形状，并写出证明过程．

Answer 1

分析 （1）由∠ADB=∠AEC=∠BAC，于是得到∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°，推出∠ABD=∠EAC，证得△ABD≌△AEC，根据全等三角形的性质得到BD=AE，然后根据线段的和差即可得到结论；
（2）由等边三角形的性质就可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，进而得出∠DFE=60°，就有△DEF为等边三角形．

解答 （1）证明：∵∠ADB=∠AEC=∠BAC，
∴∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AEC}\\{∠ABD=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC，
∴BD=AE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=DB+EC；

（2）△DEF为等边三角形
理由：∵△ABF和△ACF均为等边三角形
∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△BAD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠CAE}\\{BA=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．
∵∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE．
在△BDF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{FB=FA}\\{∠DBF=∠FAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质的运用．等边三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．