Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E是BC边上一点，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，顶点C恰好落在AB边上点F处，延长DE交AB的延长线于点G．

（1）求线段BE的长；

（2）连接CG，求证：四边形CDFG是菱形；

（3）如图2，P，Q分别是线段DG，CG上的动点（与端点不重合），且∠CPQ=∠CDP，是否存在这样的点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，请直接写出DP的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，或

【解析】

（1）设，由矩形的性质，折叠的性质和勾股定理得出BF,EF的值，然后在中利用勾股定理即可求解；

（2）由矩形的性质得出，然后根据平行线分线段成比例可求出BG的长度，进而可求出FG的长度，则可证明结论；

（3）分两种情况：和，分别利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定及性质得出PG的长度，然后利用勾股定理求出DG的长度，最后利用即可求解．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴ ．

由折叠的性质可知， ，

，

，

．

设，则 ，

，

，

解得 ，

；

（2）证明：，

．

，

，

，

，

，

．

，

∴四边形CDFG是平行四边形．

∵，

∴四边形CDFG是菱形；

（3）存在，理由如下：

①若，

∵四边形CDFG是菱形，

∴ ，

．

，

．

，

，

．

，

．

，

，

；

②若，

过点P作交CG于点H，

，

．

，

，

．

，

．

∵四边形CDFG是菱形，

∴ ．

，

，

，

，

，

，

综上所述，DP的值为或．