Question

6．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，AC、PB的延长线相交于点D．
（1）若∠1=20°，求∠APB的度数；
（2）当∠1为多少度时，OP=OD，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先证明PA=PB，求出∠PAB，∠PBA的度数即可解决问题．
（2）当∠1=30°时，OP=OD．只要证明∠OPD=∠D=30°即可．

解答 解：（1）∵AC是直径，PA、PB是圆的切线
∴PA=PB，OA⊥PA，即∠PAO=90°，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠1=20°，
∴∠PAB=70°，
∴∠PBA=∠PAB=70°，
∴∠APB=180°-∠PBA-∠PAB=40°；

（2）结论：当∠1=30°时，OP=OD．
理由：∵∠1=30°，OA=OB，
∴∠1=∠OBA=30°，∠AOB=120°，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA=PB，∵OA=OB，
∴OP垂直平分线段AB，
∴∠AOP=∠POB=60°，
∴∠DOB=180°-120°=60°，
∵∠OBP=∠OBD=90°，
∴∠D=∠OPD=30°，
∴OP=OD．

点评 本题考查了切线的性质、切线长定理、线段的垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，本题解法比较多，属于中考常考题型．