Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）如图1，

∵A（﹣3，0），C（0，4），

∴OA=3，OC=4．

∵∠AOC=90°，

∴AC=5．

∵BC∥AO，AB平分∠CAO，

∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．

∴BC=AC．

∴BC=5．

∵BC∥AO，BC=5，OC=4，

∴点B的坐标为（5，4）．

∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax²+bx+c上，

∴

解得：

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+x+4．

（2）如图2，

设直线AB的解析式为y=mx+n，

∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，

∴

解得：

∴直线AB的解析式为y=x+．

设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．

∴y_P=t+，y_Q=﹣t²+t+4．

∴PQ=y_Q﹣y_P=﹣t²+t+4﹣（t+）

=﹣t²+t+4﹣t﹣

=﹣t²++

=﹣（t²﹣2t﹣15）

=﹣[（t﹣1）²﹣16]

=﹣（t﹣1）²+．

∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，

∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．

∴线段PQ的最大值为．

（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．

抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．

∴x_H=x_G=x_M=．

∴y_G=×+=．

∴GH=．

∵∠GHA=∠GAM=90°，

∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．

∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，

∴△AHG∽△MHA．

∴．

∴=．

解得：MH=11．

∴点M的坐标为（，﹣11）．

②当∠ABM=90°时，如图4所示．

∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，

∴BG=

=

=．

同理：AG=．

∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，

∴△AGH∽△MGB．

∴=．

∴=．

解得：MG=．

∴MH=MG+GH

=+

=9．

∴点M的坐标为（，9）．

综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．