Question

如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．

（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；

（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．

Answer 1

    （1）答：△BMN是等腰直角三角形．

证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，

∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．

∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．

∴△BMN是等腰直角三角形；

（2）答：△MFN∽△BDC．

证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，

∴FM∥AC，FM=AC．

∵AC=BD，

∴FM=BD，即．

∵△BMN是等腰直角三角形，

∴NM=BM=BC，即，

∴．

∵AM⊥BC，

∴∠NMF+∠FMB=90°．

∵FM∥AC，

∴∠ACB=∠FMB．

∵∠CEB=90°，

∴∠ACB+∠CBD=90°．

∴∠CBD+∠FMB=90°，

∴∠NMF=∠CBD．

∴△MFN∽△BDC．