Question

20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，在二次函数y=$\frac{1}{3}$x²上一点D，过D作DA⊥x轴，垂足为点A，C为y轴上一点，且OA=OC，直线CD交抛物线于第一象限一点B；
（1）若C（0，2），求直线BD的解析式；
（2）若C为y轴正半轴任意一点，连接OD，设点D的横坐标为t，四边形ADCO的面积为S，求S与t的关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，点B关于y轴的对称点为点E，连接BE、OE，OE交直线BD于点K，直线BD交x轴于点G，当∠FKB=2∠KBO时，求t值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出点D坐标，即可解决问题．
（2）根据梯形的面积公式即可解决问题．
（3）首先证明点B是定点坐标为（3，3），再证明△OKF≌△OKG，推出点G坐标，求出直线BD，利用方程组解决点D坐标即可解决问题．

解答 解：（1）∵点C（0，2），
∵OA=OC=2，AD⊥OA，
∴点D坐标（-2，$\frac{4}{3}$），
∴直线BD解析式为y=$\frac{1}{3}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+2}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴点B坐标（3，3）．

（2）∵四边形ADCO是梯形，OA=OC=-t，AD=$\frac{1}{3}$t²，
∴S=$\frac{AD+OC}{2}$•OA=$\frac{\frac{1}{3}{t}^{2}+（-t）}{2}$•（-t）=-$\frac{1}{6}$t³+$\frac{1}{2}$t²．

（3）设点C坐标（0，c），则A（-c，0），D（-c，$\frac{1}{3}$c²），
∴直线BD解析式为y=（1-$\frac{1}{3}$c）x+c，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=（1-\frac{1}{3}c）x+c}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-c}\\{y=\frac{1}{3}{c}^{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点B是定点坐标为（3，3），
∵E、B关于y轴对称，
∴点E坐标（-3，3），易知∠AOB=90°，设∠CBO=α，则∠FKB=2α，∠BKO=90°-α，
∴∠OKF=90°+α，∠OKG=90°+α，
∴∠OKF=∠OKG，∵∠KOF=∠KOG，OK=OK，
∴△OKF≌△OKG，
∴OG=OF=3，
∴点G坐标（-3，0）
∴直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴点D坐标（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴t=-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数，二元一次方程组、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，第三个问题的突破点是发现两个三角形全等，属于中考压轴题．