Question

【题目】如图，在ABCD中，AF是∠BAD的平分线，交BC于点F，与DC的延长线交于点N．CE是∠BCD的平分线，交AD于点E，与BA的延长线交于点M．

（1）试判断四边形AFCE的形状，并说明理由；

（2）若BE⊥ME，证明四边形ABFE是菱形．

Answer 1

【答案】（1）四边形AFCE是平行四边形，理由见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）四边形AFCE的形状是平行四边形，利用已知条件证明AF∥CE即可；

（2）先证明BA＝AE，BF＝AE，再证明四边形ABFE的是平行四边形，即可解答

（1）四边形AFCE是平行四边形，

理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，

∴∠FAD＝∠BFA．

∵AF是∠BAD的角平分线，CE是∠BCD的角平分线，

∴∠FAD＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD，

∴∠FAD＝∠BCE，

∴∠BFA＝∠BCE，

∴AF∥CE，

又∵AD∥BC，

∴四边形AFCE的是平行四边形；

（2）∵AF是∠BAD的角平分线，且∠FAD＝∠BFA，

∴∠BFA＝∠BAF，

∴BA＝BF，

∵BE⊥ME，

∴∠BEM＝90°，

∵AF∥CE，

∴∠BOA＝∠BEM＝90°，即BO⊥AF，

又∵在△ABF中，BA＝BF，

∴∠ABE＝∠FBE，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠FBE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴BA＝AE，

∴BF＝AE，

又∵AD∥BC，

∴四边形ABFE的是平行四边形，

又∵BA＝BF，

∴ABFE是菱形．