Question

【题目】在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．

（1）①依题意补全图1；

②若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；

（2）若设∠PAB=a，且0°＜a＜90°，求∠ADF的度数（直接写出结果，结果可用含a的代数式表示）

（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②25°；（2）45°﹣α；（3）详见解析

【解析】

（1）①根据题意直接画出图形得出即可；

②利用对称的性质以及等角对等边的性质，进而得出答案；

（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；

（3）由轴对称的性质可得：，进而利用勾股定理得出答案．

（1）①如图1所示：

②如图2，

连接AE，由对称得，

∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴∠EAP=∠BAP=20°，

∴∠EAD=130°，

∴∠ADF==25°；

（2）如图2，

连接AE，由对称得

∠PAB=∠PAE=α，AE=AB=AD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴∠EAP=∠BAP=α，

∴∠EAD=90°+2α，

∴∠ADF==45°﹣α．

（3）如图3，

连接AE、BF、BD，

由对称可知，EF=BF，AE=AB=AD，

∠ABF=∠AEF=∠ADF，

∴∠BFD=∠BAD=90°，

在Rt△BDF中，BF2+FD2=BD2，

在Rt△ABC中，BD=AB，

∴EF2+FD2=2AB2．