Question

【题目】已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．

求证：（1）FD=CG；

（2）CG2=FGFC．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）先由菱形性质得∠FAD=∠B，再由全等三角形的判定定理得△ADF≌△BAE，进而得到FD＝EA，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到结论；（2）由两直线平行内错角相等得到∠DCF=∠BFC，由两直线平行同位角相等得到∠BAE=∠BFC，进而∠DCF=∠BAE，由全等三角形对应角相等得到∠BAE＝∠FDA，∠DCF＝∠FDA，再由相似三角形的判定得到△FDG∽△FCD，由相似性质得到结论.

试题解析：证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD//BC，∴∠FAD=∠B，

又∵AF=BE，AD=BA，∴△ADF≌△BAE．

∴FD＝EA，

∵CF//AE，AG//CE,∴EA=CG．

∴FD=CG．

（2）∵在菱形ABCD中，CD//AB，∴∠DCF=∠BFC．

∵CF//AE，∴∠BAE=∠BFC，∴∠DCF=∠BAE．

∵△ADF≌△BAE，∴∠BAE＝∠FDA，∴∠DCF＝∠FDA．

又∵∠DFG＝∠CFD，∴△FDG∽△FCD．

∴， ．

∵FD=CG， ．