Question

【题目】已知：如图，∠QAN为锐角，H、B分别为射线AN上的点，点H关于射线AQ的对称点为C，连接AC，CB．

（1）依题意补全图；

（2）CB的垂直平分线交AQ于点E，交BC于点F．连接CE，HE，EB．

①求证：△EHB是等腰三角形；

②若AC+AB＝AE，求的值．

Answer 1

【答案】（1）补图见解析；（2）①证明见解析；②．

【解析】

（1）根据要求画出图形即可；

（2）①证明△ACE≌△AHE（SAS），推出EC＝EH，由EF垂直平分线段BC，推出EC＝EB可得结论；

②如图2﹣1中，作EM⊥AB于M．首先证明AC+AB＝2AM，结合已知条件可得4AM＝AE，在Rt△AEM中，根据＝求解即可解决问题．

（1）图形如图1所示：

（2）①证明：如图2中，

∵C，H关于AQ对称，

∴∠CAE＝∠EAH，AC＝AH，

∵AE＝AE，

∴△ACE≌△AHE（SAS），

∴EC＝EH，

∵EF垂直平分线段BC，

∴EC＝EB，

∴EH＝EB，

∴△EHB是等腰三角形．

②解：如图2﹣1中，作EM⊥AB于M．

∵EH＝EB，EM⊥BH，

∴HM＝MB，

∴AC+AB＝AH+AB＝AM﹣HM+AM+BM＝2AM，

∵AC+AB＝AE，

∴4AM＝AE，

在Rt△AEM中，＝＝，

∴＝．