Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F是对角线AC上的两个动点，且EF＝2，P是正方形四边上的任意一点．若△PEF是等边三角形，则符合条件的P点共有_____个，此时AE的长为_____．

Answer 1

【答案】4 或

【解析】

当点P在AD上时，过点PH⊥EF于H，由等边三角形的性质可求PH＝，由正方形的性质可求∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，可得AH＝PH，可求AE＝﹣1，同理可求点P在AB，CD，BC上时，AE的值，即可求解．

解：如图，当点P在AD上时，过点PH⊥EF于H，

∵△PEF是等边三角形，PH⊥EF，

∴∠PEF＝60°，PE＝PF＝EF＝2，EH＝FH＝1，

∴PH＝，

∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，

∴∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，

∵PH⊥AC，

∴∠APH＝∠PAH＝45°，

∴AH＝PH＝，

∴AE＝﹣1，

同理可得：当点P在AB上时，AE＝﹣1，

当点P在CD或BC上时，AE＝4﹣2﹣（﹣1）＝4﹣﹣1，

故答案为：4，或．