Question

15．你会求（a-1）（a²⁰¹²+a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+…+a²+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
$\begin{array}{l}（a-1）（a+1）={a^2}-1\\（a-1）（{a^2}+a+1）={a^3}-1\\（a-1）（{a^3}+{a^2}+a+1）={a^4}-1\end{array}$
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a-1）（a²⁰¹⁴+a²⁰¹³+a²⁰¹²+…+a²+a+1）=a²⁰¹⁵-1
利用上面的结论，求：
（2）2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的值是2²⁰¹⁵-1．
（3）求5²⁰¹⁴+5²⁰¹³+5²⁰¹²+…+5²+5+1的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案；
（2）先变形，再根据规律得出答案即可；
（3）先变形，再根据算式得出即可．

解答 解：（1）（a-1）（a²⁰¹⁴+a²⁰¹³+a²⁰¹²+…+a²+a+1）
=a²⁰¹⁵-1，
故答案为：a²⁰¹⁵-1；

（2）2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1
=（2-1）×（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1）
=2²⁰¹⁵-1，
故答案为：2²⁰¹⁵-1；

（3）5²⁰¹⁴+5²⁰¹³+5²⁰¹²+…+5²+5+1
=$\frac{1}{4}$×（5-1）×（5²⁰¹⁴+5²⁰¹³+5²⁰¹²+…+5²+5+1）
=$\frac{{5}^{2015}-1}{4}$．

点评 本题考查了整式的混合运算的应用，能根据题目中的算式得出规律是解此题的关键，难度适中．