Question

如图，已知正方形ABCD的边长为23，以A为圆心作

EF

，交AB于F，交AD于E，圆O与

EF

切于G，并且与BC、CD都相切，若以扇形AEF为侧面，圆O为底面作一个圆锥，求这个圆锥的母线长和表面积．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,圆锥的计算

专题：

分析：设圆锥模型的底面半径是r，扇形铁皮的半径是R，得出2πr=

1

4

•2πR，求出R=4r．连接OQ、ON，得出正方形OQCN，得出OQ=CQ，根据勾股定理求出AC，CO，即可得出

2

r+r+R=23

2

，求出r，进而得出圆锥的全面积．

解答：解：设圆锥模型的底面半径是r，扇形铁皮的半径是R，
由题意知：∠DCB=90°，2πr=

1

4

•2πR，
解得：R=4r，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°=∠D，DC=AD=23，
由勾股定理得：AC=

232+232

=23

2

，
∵根据相切两圆的性质和切线性质得：AO=R+r，∠OQC=∠ONC=90°=∠DCB，OQ=ON，
∴四边形QCNO是正方形，
∴CQ=OQ=r，
由勾股定理得：CO=

r2+r2

=

2

r，
∵AC=AO+OC，
∴

2

r+r+R=23

2

，
∴r=

23 2

2 +5

=5

2

-2，
∴R=20

2

-8，
即这个圆锥的母线长是20

2

-8，
∴圆锥的表面积为：πr²+πRr=π×（5

2

-2）²+π（20

2

-8）（5

2

-2）=220π-100

2

π．

点评：本题考查的知识点有相切两圆的性质、圆的切线性质、正方形的性质和判定、勾股定理等，主要考查学生运用定理进行计算和推理的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．