Question

如图，已知二次函数y=a（x-h）²-1的图象与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，8）．
（1）求此函数的解析式；
（2）P（6，2）为平面内一点，设直线y=kx+b交抛物线于M、N，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为矩形？若存在，求直线解析式；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|MC-MB|的值最大，求出点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点A、C的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、h的方程组，通过解方程组求出a、h的值即可得解；
（2）过点M作MD⊥x轴于D，过点P作PE⊥x轴于E，然后求出∠AMD=∠PAE，从而求出△ADM和△PEA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出

AD

MD

，设AD=m，表示出MD，从而表示出点M的坐标，再根据点M在抛物线上代入求解即可进行判断；
（3）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点A、C、M在同一直线上时|MC-MB|最大，设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据点M在对称轴上代入计算即可得解．

解答：解：（1）∵二次函数y=a（x-h）²-1的图象与x轴交于A（2，0），与y轴交于点C（0，8），
∴

a(2-h)2-1=0① a(0-h)2-1=8②

，
①-②得，-4ah+4a+8=0，
解得a=

2

h-1

③，
③代入②并整理得，2h²-9h+9=0，
解得h₁=3，h₂=

3

2

（舍去），
把h=3代入③得，a=1，
∴二次函数的解析式为：y=（x-3）²-1；

（2）不存在以A、M、N、P为顶点的四边形为矩形．
理由如下：如图，过点M作MD⊥x轴于D，过点P作PE⊥x轴于E，
∵以A、M、N、P为顶点的四边形为矩形，
∴∠MAP=90°，
∴∠DAM+∠PAE=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD=∠PAE，
又∵∠ADM=∠PEA=90°，
∴△ADM∽△PEA，
∴

AD

PE

=

MD

AE

，
∵A（2，0），P（6，2），
∴PE=2，AE=6-2=4，
∴

AD

2

=

MD

4

，
∴

AD

MD

=

1

2

，
设AD=m，则MD=2m，OA=2-m，
∴点M（2-m，2m），
代入抛物线解析式得，（2-m-3）²-1=2m，
解得m=0，
∴点A、M重合，
故，不存在以A、M、N、P为顶点的四边形为矩形；

（3）由三角形的三边关系，|MC-MB|＜AC，
∴当点A、C、M在同一直线上时|MC-MB|最大，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

b=8 2k+b=0

，
解得

k=-4 b=8

，
∴y=-4x+8，
∵抛物线对称轴为直线x=3，
∴当x=3时，y=-4×3+8=-4，
∴点M的坐标为（3，-4）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，（1）用h表示出a，再代入得到关于h的一元二次方程是解题的关键，（2）关键在于利用作辅助线构造成相似三角形并表示出点M的坐标，（3）难点在于根据三角形的三边关系判断出点M的位置．