Question

如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的邻补角的平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

Answer 1

当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.

证明:∵CE平分∠BCA,

∴∠1=∠2.

又∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠3=∠2,∴EO=CO.

同理,FO=CO.∴EO=FO.

又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.

方法一:又∵∠1=∠2,∠4=∠5,

∴∠1+∠5=∠2+∠4.

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°.

∴平行四边形AECF是矩形.

方法二:∵EO=CO,FO=CO,OA=CO,

∴EO=CO=FO=OA,

即AC=EF.∴平行四边形AECF是矩形.