Question

4．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=4cm，C为弧AB的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为（　　）cm²．

• A． 4π-2$\sqrt{2}$-2
• B． 4π-2
• C． 2π+2$\sqrt{2}$-2
• D． 2π+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连接OC、EC，由△OCD≌△OCE、OC⊥DE可得DE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，分别求出S_扇形OBC、S_△OCD、S_△ODE面积，根据S_扇形OBC+S_△OCD-S_△ODE=S_阴影部分可得．

解答 解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，
∵半径OA=4，C为$\widehat{AB}$的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD=OE=2，OC=4，∠AOC=45°，
∴CF=2$\sqrt{2}$，
∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积-三角形OCD的面积
=$\frac{45π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$
=2π-2$\sqrt{2}$，
三角形ODE的面积=$\frac{1}{2}$OD×OE=2，
∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积-空白图形ACD的面积-三角形ODE的面积
=$\frac{90π×{4}^{2}}{360}$-（2π-2$\sqrt{2}$）-2
=2π+2$\sqrt{2}$-2．
故选C．

点评 考查了扇形面积的计算，本题难点是得到空白图形ACD的面积，关键是理解图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积-空白图形ACD的面积-三角形ODE的面积．