Question

8．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面．
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
（3）在（2）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？

Answer 1

分析 （1）在弧AB上任取一点C，连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．
（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB，根据垂径定理得到BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
（3）连接OM，设MF=6cm，可求得此时OF的高，即可求得DF的长，比较13cm，即可得到此时小船能顺利通过这个管道．

解答 解：（1）在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC、BC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．


（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．

∵OE⊥AB，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×16=8cm，
由题意可知，ED=4cm，
设半径为xcm，则OD=（x-4）cm，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD²+BD²=OB²
∴（x-4）²+8²=x²
解得x=10．
即这个圆形截面的半径为10cm．
（3）如图，小船能顺利通过这个管道．理由：
连接OM，设MF=6cm．
∵EF⊥MN，OM=10cm，
在Rt△MOF中，OF=$\sqrt{O{M}^{2}-M{F}^{2}}$=8cm
∵DF=OF+OD=8+6=14cm
∵14cm＞13cm，
∴小船能顺利通过这个管道．

点评 此题考查了垂径定理、勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．