Question

如图，在△ABC中，∠ABC=120°，圆心O在AC，⊙O与AB相切于点B，D为弧BC的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）判断四边形BOCD的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）首先连接OB，由⊙O与AB相切于点B，在△ABC中，∠ABC=120°，可求得∠A=∠ACB=30°，则可得AB=BC；
（2）首先连接OD，易证得△BOD与△COD是等边三角形，则可得OB=OC=CD=BD，即可判定四边形BOCD是菱形．

解答：（1）证明：连接OB，
∵⊙O与AB相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵在△ABC中，∠ABC=120°，
∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，
∴∠ACB=30°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴AB=BC；

（2）解：四边形BOCD是菱形，
连接OD，∵∠A=30°，∠OBA=90°，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵D为弧BC的中点．
∴∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD与△COD是等边三角形，
∴OB=BD=CD=OC，
∴四边形BOCD是菱形．

点评：此题考查了切线的性质、菱形的判定以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．