题目内容
【题目】类比思想就是根据已经学习过的知识，类比探究新知识的思想方法．我们在探究矩形、菱形、正方形等问题中的数量关系时，经常用到类比思想．某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在
中，
点
为直线
上一动点(点不与
重合)，以
为边在右侧作正方形
连接
．
（1）（观察猜想）如图①，当点在线段上时；
①与的位置关系为： ；
②
之间的数量关系为： ；(将结论直接写在横线上)
（2）（数学思考）如图②，当点在线段
的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
（3）（拓展延伸）如图③，当点在线段的延长线上时，延长
交于点
，连接
．若已知
请直接写出的长．(提示： ．过
作
于
过
作
于
于
)
【答案】（1）①垂直；
；（2）结论①成立；结论②不成立，正确结论为：
．理由见解析；（3）
．
【解析】
（1）根据正方形的性质得到
，推出
，根据全等三角形的性质即可得到结论；由正方形
的性质可推出，根据全等三角形的性质得到
，
，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到，推出，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）过
作
于
，过
作
于
，
于
，如图3所示，由
，推出
，
，推出
，
，由
是等腰直角三角形，推出
，推出
，再由勾股定理即可解决问题．
解：（1）①在正方形中，
，
，
，
在
与
中，
，
，
，
，
即
；
故答案为：；
②由①知，，
，
，
；
故答案为：；
（2）
成立；
不成立，新结论为：．理由如下：
在正方形中，，
，
，
在与中，，
，
，
，
，
．
，
，
．
，
，
．
（3）解：如图3，过作于，过作于，于，
，
，
，
，
，
，
，
，
在正方形中，
，
，
，
在与中，，
，
，
，
即，
，，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在
中，
．
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