Question

12．已知点B（2，0），抛物线y=-x²+2x+2与y轴交于点A．
（1）此抛物线的顶点坐标C（1，3）；
（2）若代数式-x²+2x+2的值为大于1的正整数，则x的值为0、1、2；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得以AB为直角边的△ABP为直角三角形？如果存在，请求出符合条件的所有点P坐标；如不存在，请说明理由．
（4）连接AB，D为线段AB上任意一点（不与A、B重合），经过A、D、O三点的圆交直线AC于点E，当△OED的面积取得最小值时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）将解析式写成顶点式即可；
（2）分别让y取2和3，解出x即可；
（3）分别作AP⊥AB、BP⊥AB，再分别让AP、BP的解析式与抛物线解析式联立即可解出相应的P点；
（3）由于AD⊥AE，加上AEOD四点共圆，可知∠EOD=90°，另外，∠OAB=45°，于是得出△OED是等腰直角三角形，所以只需让OD最小即可，而当D为AB中点时最小．

解答 解：（1）∵y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴C（1，3）；
（2）∵1＜y≤3，y为正整数，
∴y=2或3，
令-x²+2x+2=0，解得：x=0或x=2；
令-x²+2x+2=3，解得：x=1；
∴x的值为0、1、2；
（3）令x=0，得y=2，
∴A（0，2），
∵B（2，0），
∴直线AB的解析式为：y=-x+2；
①作点A作AP⊥AB交抛物线于另一点P，如图1，

则直线AP的解析式为：y=x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-{x}^{2}+2x+2}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$（舍去）；
∴P（1，3），即与C点重合；
②过点B作BP⊥AB交抛物线于点P，如图2，

则PB的解析式为：y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-{x}^{2}+2x+2}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{17}-4}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-4}{2}$）或P（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$）
综上所述，满足要求的P点坐标为：（1，3）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-4}{2}$）、（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$）；

（4）如图3，

由（3）可知，AB⊥AC，
∴∠EAB=90°，
∵A、E、O、D四点共圆，
∴EO⊥OD，
∵AO=BO=2，
∴∠OAB=45°，
∴∠OED=45°，
∴OE=OD，
∴当OD最小时，△OED的面积最小，
根据垂线段最短可知，当OD⊥AB时，OD最小，此时，D为AB的中点，
∴D（1，1）．

点评 本题考查了抛物线的顶点式、解一元二次方程、直角三角形的判定与性质、相互垂直的两直线的性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆的性质、垂线段最短原理，中点坐标公式等知识点，综合性强，难度较大．第（3）问注意分类讨论，不要漏解；第（4）问的关键是证明三角形OED是等腰直角三角形．