Question

4．在△ABC中，∠A=30°，AB=2$\sqrt{3}$，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF．

（1）如图1，若α=60°，线段BA绕点B旋转α得到线段BD．请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；
（2）如图2，若α=90°，求∠AFB的度数和BF的长．

Answer 1

分析 （1）补全图形，连接AD，可证△ABD是等边三角形，从而AF是BD垂直平分线，∠AFB的度数直接求出；
（2）过点B作BG⊥AC于G，BH⊥BD于H，根据全等三角形对应边上的高相等可知BG=BH，从而BF平分∠AFB，由于BD垂直AC，所以∠AFB=45°，算出BG就可算出BF．

解答 解：（1）补全△DBE，如图1，

连接AD，
由旋转的性质可知：△ABC≌△DBE，
∴BA=BD，∠BAE=∠BAC=30°，
∵∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=AB，∠DAB=60°，
∴∠DAF=30°=∠CAB，
∴AF垂直平分BD，
∠AFB=∠AFD=60°；
（2）如图2，过点B作BG⊥AC于G，BH⊥BD于H，

∵△ABC≌△DBE，BG和BH为对应边AC和BD上的高线，
∴AB=DB，∠D=∠A=30°，BG=BH，
∴BF平分∠AFE，
∵∠ABD=90°，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFB=45°，
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴BG=$\sqrt{3}$，
∴BF=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线逆定理、特殊角的三角函数、解直角三角形等知识点，难度适中．第（2）问当中，用到了全等三角形的重要性质，即“全等三角形对应边上的高是相等的”，直接利用这一性质可使解答过程得以简化．