Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MGMH=，其中正确结论为（ ）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】试题解析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=，故①正确；

②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，

∵MG⊥AC，

∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，

∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，

∴MH=MB=CG，

∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，

∴CF=AF=BF，

∴FG是△ACB的中位线，

∴GC=AC=MH，故②正确；

③如图2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠5=45°．

将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，

则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；

∵∠2=45°，

∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，

∴∠DCE=∠2．

在△ECF和△ECD中，

，

∴△ECF≌△ECD（SAS），

∴EF=DE．

∵∠5=45°，

∴∠DBE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；

④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，

∵∠A=∠5=45°，

∴△ACE∽△BFC，

∴，

∴AEBF=ACBC=1，

由题意知四边形CHMG是矩形，

∴MG∥BC，MH=CG，

MG=CH，MH∥AC，

∴； ，

即； ，

∴MG=AE；MH=BF，

∴MGMH=AE×BF=AEBF=ACBC=.

故④正确．

故选C．