题目内容
把两个三角形按如图1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，AB=6，DC=7．把△DCE绕C点顺时针旋转15°，得到△D1CE1，如图2，这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．（1）求∠ACD1的度数；
（2）求AD1的长；
（3）如果把△D1CE1绕C点再顺时针旋转30°，这时点B在△D1CE1的内部、外部、还是在边D1E1上？利用图3，画出图形，并说明理由．
【答案】分析：（1）利用已知得出∠ACD=30°，进而求出∠ACD1=30°+15°=45°；
（2）根据OFE1=∠B+∠1，易得∠OFE1的度数，进而得出∠4=90°，在Rt△AD1O中根据勾股定理就可以求得AD1的长；
（3）设BC（或延长线）交D1E1于点P，Rt△PCE1是等腰直角三角形，就可以求出CB的长，判断B在△D1CE1内．
解答：
解：（1）如图2所示，∵∠D=30°，∠ACB=∠DEC=90°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=30°，
∵把△DCE绕C点顺时针旋转15°，
∴∠3=15°，∠E1=90°，
∴∠ACD1=30°+15°=45°；
（2）如图2所示，连接AD1，
∵∠3=15°，∠E1=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°；
∴∠D1FO=60°，
∵∠CD1E1=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=
AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=
AB=
×6=3（cm），
又∵CD1=7（cm），
∴OD1=CD1-OC=7-3=4（cm），
在Rt△AD1O中，AD1=
=
=5（cm）；
（3）点B在△D1CE1内部，
理由如下：如图3，设BC（或延长线）交D1E1于点P
则∠PCE1=15°+30°=45°，
∵∠D=30°，DC=7cm，
∴CE1=
cm，
∵AB=6，∠A=45°，
∴BC=6×
=3
（cm），
在Rt△PCE1中，CP=
CE1=
（cm），
∵CB=3
＜
，即CB＜CP，
∴点B在△D1CE1内部．
点评：本题主要考查了图形旋转的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，正确认识旋转角，理解旋转的概念是解题的关键．
（2）根据OFE1=∠B+∠1，易得∠OFE1的度数，进而得出∠4=90°，在Rt△AD1O中根据勾股定理就可以求得AD1的长；
（3）设BC（或延长线）交D1E1于点P，Rt△PCE1是等腰直角三角形，就可以求出CB的长，判断B在△D1CE1内．
解答：
解：（1）如图2所示，∵∠D=30°，∠ACB=∠DEC=90°，∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=30°，
∵把△DCE绕C点顺时针旋转15°，
∴∠3=15°，∠E1=90°，
∴∠ACD1=30°+15°=45°；
（2）如图2所示，连接AD1，
∵∠3=15°，∠E1=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°；
∴∠D1FO=60°，
∵∠CD1E1=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=
AB=3cm，∵∠ACB=90°，
∴CO=
AB=×6=3（cm），又∵CD1=7（cm），
∴OD1=CD1-OC=7-3=4（cm），
在Rt△AD1O中，AD1=
==5（cm）；（3）点B在△D1CE1内部，
理由如下：如图3，设BC（或延长线）交D1E1于点P
则∠PCE1=15°+30°=45°，
∵∠D=30°，DC=7cm，
∴CE1=
cm，∵AB=6，∠A=45°，
∴BC=6×
=3（cm），在Rt△PCE1中，CP=
CE1=（cm），∵CB=3
＜，即CB＜CP，∴点B在△D1CE1内部．
点评：本题主要考查了图形旋转的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，正确认识旋转角，理解旋转的概念是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
，
，
，且
，
．把△DCE
，与D1E1相交于点F．
的度数；
顺时针再旋转30°得到△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？请说明理由．
，
，
，且
，
．把△DCE
，与D1E1相交于点F．
的度数；
顺时针再旋转30°得到△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？请说明理由．
