Question

11．如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，且AE平分∠BEF，连AF．
（1）求证：∠EAF=45°；
（2）若点E为BC的中点，AB=6，求S_△AEF．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥EF于H．只要证明△AFD≌△AFH，推出∠FAD=∠FAH，同法可证：∠EAB=∠EAH，由此即可解决问题；
（2）由△EAB≌△EAH，△FAD≌△FAH，推出BE=EH=3，DF=FH，设DF=FH=x，在Rt△EFC中，根据EF²=EC²+CF²，可得（x+3）²=3²+（6-x）²，推出x=2，推出EF=3+2=5，即可解决问题；

解答 （1）证明：作AH⊥EF于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=AD=BC=CD，
∵AE平分∠BEF，AB⊥BE，AH⊥EF，
∴AB=AH=AD，
在Rt△AFD和Rt△AFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AD=AH}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△AFH，
∴∠FAD=∠FAH，同法可证：∠EAB=∠EAH，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAH+$\frac{1}{2}$∠DAH=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

（2）解：∵△EAB≌△EAH，△FAD≌△FAH，
∴BE=EH=3，DF=FH，设DF=FH=x，
在Rt△EFC中，∵EF²=EC²+CF²，
∴（x+3）²=3²+（6-x）²，
∴x=2，
∴EF=3+2=5，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$×5×6=15．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．