Question

17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=5∠A，CD⊥AB，垂足为D，求证：AB=4CD．（提示．作斜边AB上的中线CM）

Answer 1

分析 作斜边AB上的中线CM，由∠C=90°，∠B=5∠A，根据三角形的内角和得到∠A+∠B=∠A+5∠A=6∠A=90°，求得∠A=15°，根据直角三角形的性质得到AM=CM，由等腰三角形的性质得到∠A=∠ACM=15°，根据外角的性质得到∠CMD=30°，于是得到CM=2CD，依此得到结论．

解答 证明：作斜边AB上的中线CM，
∵∠C=90°，∠B=5∠A，
∴∠A+∠B=∠A+5∠A=6∠A=90°，
∴∠A=15°，
∵CM是在Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AM=CM，
∴∠A=∠ACM=15°，
∴∠CMD=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDM=90°，
∴CM=2CD，
∴AB=2CM=4CD．

点评 本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．